2017年内蒙古民族大学数学学院806高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
都是4维列向量，且4阶行列式
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
，
二、分析计算题
6． 设f （x ）为任一多项式. 证明：
除以再求f （x ）除以【答案】①设②解法I 设令
得
但因为
故
因此，所求余式为
所得余数为
所得的余式.
即得
解法II 设
则
故由此得
将（12）代入（11）, 得
由此即得（10）.
7． 证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.
【答案】方法1 我们只证明正交矩阵A ，若就行了
.
由于n 为奇数，故
又有
则
A 以1为特征值.
方法2 A 是实正交阵，也就是酉矩阵. 它的虚特征值必成对出现，且其模为1, 它的实特征值是±1. 因此可设其全部的特征值为
其中数.k
=n—t —2m 是奇数，至少是1. 故A 及
8． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则
【答案】①设且
为实对称的.
以1作为特征值•
是正定矩阵；
）均为实数，
且2m+k+t=n.
由于
t 一定是偶
则以1为特征值，只要证
②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定
的特征根为
由于A 为实对称的，故其特征根（设为
故
为正定矩阵.
d 淹分性显然，下证必要性.
设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有
从而
因此，A=B.
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