2017年内蒙古民族大学数学学院806高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
【答案】（C ）
【解析】设的解空间分别为则所以
即证秩
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设A 为矩阵AB 与BA 的非零特征值，证明AB 属于A 的特征子空间子空间
设
的维数相同.
基，则
故有
因此
若
则
为的
【答案】证法1令
与BA 属于的特征
所以
则有
理
所以
证法2只要证秩而
由
知
设
即线性无关.
故同
则3可逆阵使
这里
所以
令
则
而
，可得结论. 由式（1）、式（2）、式（3）
7． 证明：起阶方阵A 相似于对角方阵的充分必要条件是对每个数m ，曲出
【答案】设可以导出
其中E 是单位方阵，x 是n 维列向量. 是
的含意是
的解空间，
但总有
是
的解空间，条件‘
因此本题可改为
先证必要性. 设
其中当
为A 的全部特征值.
时，
所以
于是
而
由②，③即证
可以导
相关内容
相关标签