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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设A 为4×3矩阵，常数，则

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩 2． 若

【答案】（C ） 【解析】设

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与

的两个线性无关的解.

考虑到是的一个特解，所以选C.

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时， 5． 设均为n 维列向量，A 是

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明；若不是，则举出反例；

（2）设

都只有一个特征值这里

证明A 与B 相似的充分必要条件是

的特征子空间

分别表示A , B 的属于

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【答案】（1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：

显然，A 与B 的特征多项式同为（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以故

最小多项式同为

相似，从而

但由于A 由3个jordan 块

构成，B 由两个jordan 块构成，是两个不同的jordan 标准形，所以A 与B 不相似.

充分性. 记A , B 的jordan

标准形分别为只能有以下3种可能性：

因为A , B 都只有一个特征值所以都

现在，由于因此

7． （1）

设

故A 与B 相似.

为n 维线性空间V 的线性变换

，

且

与

互素，则

为其中

（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式

由于从而有

（E 为恒等变换）

这样，令同理可得

此说明所以

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所以

从而

的最小多项式. 证明：如果

下的矩阵为求的最小

并对于的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.

使

互素，所以存在多项式

【答案】（1）证明：由题设

，有

则有