2017年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时， 2． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
【答案】B 【解析】
的基础解系. 又由
3． 设
又
为空间的两组基，且
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 4． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由②有
由秩A=2, 可知可由线性表出.
5． 齐次线性方程组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
二、分析计算题
6． 设V 是数域P 上一个线性空间，
（1）证明下列集合
是V 的一个子空间，W 称为线性函数【答案】（1）证明略. （2）
设
是V 的一个子空间.
取
定义
则
显然任
意
中
故
即 7． 设
试就a , b 的各种取值情况，讨论非齐次方程组【答案】因为系数行列式（1）当
时，且
，所以
时，方程组有唯一解
（2）当a=0时，原方程组无解。
的解，如有解，并求出解。
是
的零化子空间.
有
中至少有一个
. 于是对这个j 有
若
则
的一组
基
再扩大为V 的一组
基
的零化子空间.
（2）证明：V 的任一个子空间皆为某些线性函数的零化子空间.
是V 上k 个线性函数.