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2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研题库

  摘要

一、计算题

1. 下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散? 对收敛数列,通过观察数列{xn }的变化趋势,写出它们的极限:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

【答案】(1)收敛,(2)收敛,(3)收敛,(4)收敛,(5(6)收敛,(7)(8)

发散

发散

发散

2. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中,其速率为4 m/min。当水深为5m 时,其表面上升的速率为多少?

3

,水的容积为V (t ),【答案】如图所示,设在t 时刻容器中的水深为h (t )即即故

3. 问函数

【答案】函数在[1, 4]上可导, 令

, 得驻点

(舍去),

, 比较

,用对面积的曲(x ,y ,z )

在何处取得最大值? 并求出它的最大值。

得函数在处取得最大值, 且最大值为

4. 设有一分布着质量的曲面,在点(x ,y ,z )处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。

,【答案】设想将分成n 小块,取出其中任意一块记作dS (其面积也记作dS )(x ,y ,z )为dS 上一点,则dS 对x 轴的转动惯量近似等于

以此作为转动惯量元素并积分,即得对x 轴的转动惯量为

5. 求函数

故由莱布尼茨公式,得

在x=0处的n 阶导数,则

【答案】本题可用布莱尼公式求解。

6. 求球面

含在圆柱面

内部的那部分面积。

【答案】如图所示,上半球面的方程为

由曲面的对称性得所求面积为

7. 有一闸门,它的形状和尺寸如图所示,水面超过门顶2m ,求闸门上所受的水压力。

,则p (x )=1000gx,取x 为积分变量,则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p (x )范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x,x+dx],压力为闸门上所受水压力为

,因此