2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1. 下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散? 对收敛数列,通过观察数列{xn }的变化趋势,写出它们的极限:
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
【答案】(1)收敛,(2)收敛,(3)收敛,(4)收敛,(5(6)收敛,(7)(8)
发散
发散
发散
2. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中,其速率为4 m/min。当水深为5m 时,其表面上升的速率为多少?
3
图
,水的容积为V (t ),【答案】如图所示,设在t 时刻容器中的水深为h (t )即即故
3. 问函数
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
, 得驻点
(舍去),
, 比较
,用对面积的曲(x ,y ,z )
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
,
得函数在处取得最大值, 且最大值为
4. 设有一分布着质量的曲面,在点(x ,y ,z )处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。
,【答案】设想将分成n 小块,取出其中任意一块记作dS (其面积也记作dS )(x ,y ,z )为dS 上一点,则dS 对x 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分,即得对x 轴的转动惯量为
5. 求函数
设
故由莱布尼茨公式,得
在x=0处的n 阶导数,则
。
【答案】本题可用布莱尼公式求解。
6. 求球面
含在圆柱面
内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示,上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
图
7. 有一闸门,它的形状和尺寸如图所示,水面超过门顶2m ,求闸门上所受的水压力。
,则p (x )=1000gx,取x 为积分变量,则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p (x )范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x,x+dx],压力为闸门上所受水压力为
,因此