2017年哈尔滨工业大学威海校区831高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 验证下列求这样的一个
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
（3）在整个xOy 面内，且
则有
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
在整个xOy 平面内是某一函数
的全微分，并
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
和
具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，且分。取
则有
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和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微
解法二：（偏积分法）因函数
满足
故
其中
是y 的某个可导函数，由此得
又
必需满足
从而得
（C 为任意常数）。因此
取C=0，就得到满足要求的一个
。
因此可取
2． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
解法三：（凑微分法）利用微分运算法则直接凑出
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。
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因为，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
3． 设a=（2，﹣3，l ），b=（l ，﹣2，3），c=（2，l ，2），向量r 满足求r.
【答案】设向量r=（x ，y ，z ）. 由由由
，即
，即
知
联立上述三个方程得x=14，y=10，z=2.故r=（14, 10, 2）
4． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
。
D 可改写为
，于是 （图1）
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处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
14，
，其
中