2017年广州大学环境科学与工程学院609高等数学(环境)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列幂级数的收敛区间：
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
故收敛半径为（3）令因
级数的收敛区间为
（4）令
，原级数成为
处的曲率圆方程。
处的曲率中心的坐标为
, 则
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收敛区间为即
先讨论级数
的收敛区间。
的收敛区间为
从而原
故收敛半径
由第（3）题知该级数的收敛区间为因
故原级数的收敛区间为
2． 求曲线y=tanx
在点
【答案】设曲线在点
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
3． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面
2
积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有
（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有
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x
（3）解方程组
得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。
如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、
宽为
[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为
从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下两段的话，则为y=2x和y=3-X; 而分为左右两段的话，则为段曲线的表示相对比较复杂，也就导致计算形式复杂.
（4）解方程组以x 为积
分变量计算较容易. 取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-1，3]，相应于[-1，3]上的任一小区间[x，x+dx] 的窄条面积近似于高为2x+3-x、底为如的窄矩形的面积，因此有
4． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
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2
的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间
的窄矩形的面积，因此有
和其中右
，与（3）相同的原因，本小题得到交点坐标为（-1，l ）和（3，9）
，其中L 是圆柱面与平面的
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