2017年广州大学环境科学与工程学院609高等数学(环境)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设Z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x 1，y l ，z 1）沿直线移到（x 2，y 2，z 2）时重力所作的功。
，质点移动的直线路径L 的方程为
【答案】重力F=（0，0，mg ）
于是
2． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域
，于是
（2）在极坐标系中，积分区域
，于是
及直
线
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是
3． 下列各题中，r=f（t ）是空间中的质点M 在时刻t 的位置，求质点M 在时刻和加逸度向量， 以及在任意时刻t 的速率.
的速度向量
【答案】（1）速度向量加速度向量速率
（2）速度向量加速度向量速率
（3）速度向量加速度向量速率
。
； ； ；
；
。
；
；
4． 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线密度为
上一段弧
与直线所围成，它的面
。求这薄片的质量。
，即
【答案】薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域D 上的二重积分（图）
图
5． 一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1 000元时, 公寓会全部租出去。当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去。而租出去的公寓每月需花费100元的维修费。试问房租定为多少时可获得最大收入?
【答案】设每套月房租为x 元, 则租不出去的房子套数为
, 租出的每套房子获利（x-100）元。故总利润为
则令
, 得驻点
, 由
知
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大
,
租出去的套数为
值点。即当每套月房租定在1800元时, 可获得最大收入。