2017年天津师范大学数学科学学院829高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
2． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
由格林公式得
又
所以
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
图
3． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得
故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件
得
即
则且原方程化为一阶线性方程
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
有初始条件
即
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
则有
即
故有取
分离变量并积分代入初始条件
即并因时，故上式开方后
得得
故所求特解为
因
即
不
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
是原方程的特解，并代入原方程，
得
比较系数得故
且原方程的通解为
并有 代入初始条件有
即故所求特解为
4． 已知
，求当
时，
的值。
【答案】因为
于是
5． 根据定积分的性质及第12题的结论, 说明下列各对积分哪一个的值较大: