2017年天津师范大学数学科学学院829高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求由
所决定的隐函数对x 的导数
【答案】方程两端分别对x 求导, 得
2． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
（4）确定。
【答案】（1）利用柱面坐标计算，
可表示为
于是
（2）在球面坐标系中，球面示为
（图1）
于是
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，其中是由曲面及平面所围成的闭
，其中是由曲面及平面所围成的闭
，其中闭区域由不等式所
的方程为，即可表
图1 图2
（3）利用柱面坐标计算，可表示为
（图2）
于是
（4）在球面坐标系中，可表示为
于是
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3． 设，
求【答案】
的图形如图所示。
并作出函数
的图形。
图
4． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
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