2017年天津师范大学数学科学学院829高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
2． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
, 又
时,
, 故V 在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图
3． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
4． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
5． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，要满足
6． 已
知
【答案】设代入方程并整理，得不妨取u=x, 则
则它的通解为
其中
f=2x
故
7． 设己知两点
【答案】向量
（4，
，1）和
（3，0，2），计算向量. 其方向余弦分别为
方向角分别为
的模、方向余弦和方向角.
，1），其模
=
是齐次线性方
程的通解。
是非齐次线性方程的解，则
且y 2与y 1线性无关，将非齐次方程化为标准形
，求得
。
的一个解，求非齐次线性方
程
。问x 为何值时，[0，x]一段
发散。
，当
时极限不存在，故
=（3，﹣4，0，﹣，2，﹣1）=（﹣1，﹣