2018年甘肃农业大学生命科学技术学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，
对于齐次线性方程组的解必是
是
的解
的解必是
的解
的解. 以上命题中正确的是（ ）。 A. （1） （2） B. （1） （4） C. （3） （4） D. （2） （3） 【答案】A 【解析】
若
可见命题（1）正确.
如果
若
代入，
得
由于
因此矛盾.
故
2．
设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D. 不相似也不合同 【答案】B
【解析】AtB 均是实对称阵，
时，必有而知必有
类似地用
.
，
即
而
那么对于向量
用
左乘可得的解必是
个n 维向量它们必然线性相关，两者的解. 因此命题（2）正确.
一方面有：
左乘上式的两边，并把
则
即若
是
的解，则
必是
的解，
和
的解不是
现有四个命题
的解
的解不
:线性无关. 但另一方面，
这是
则A 与B 有关系（ ）。
A
有特征值B
有特征值故A , B 不相似，但
A , B 的正惯性指数均为p=l，负惯性指数为0, 故A , B 合同.
3． 设
有通解解向量的是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
若
是有解.
将
的
解
即方程
组
则下列向量中不是的
有解.
即
合并成矩阵，并作初等行变换，得
显然
4．
设
B.
当D.
当【答案】D 【解析】
由即
有
，可得
即矩阵A+E不可逆.
对等式两边取行列式，得
若
不能由
线性表出，
即
不包含于
之中.
，E 为单位矩阵，则以下结论正确的是（ ）. 时，A+E可逆 时, A+E不可逆
A.A-E 可逆 C.A+E可逆
5． 设A
是
则秩
A.t
B. C. D.
矩阵（ ）。
是A 的转置，若谁是齐次方程组的基础解系，
【答案】C 【解析】由于A
是性方程组，
从而
6． 已知4
维列向量
=（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A 【解析】
设那么
与
均正交，
即内积
的非零解.
由于
线性无关，故系数矩阵的秩为3. 所以基础解系有4-3=1个解向量. 从
而
7．
若均是n 阶非零矩阵，且AB=0, 则必有
A.1 B.2 C.n-1
D. 条件不够不能确定
【答案】A
【解析】若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×5矩阵，且AB=0, 则有 （1） B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解；
⑵秩
由（1
）知对于又因
r （B
）
知有代数余子式又因
有非零解，从而秩即A 中有n-l 阶子式非零.
于是
故必有r （B ） =1.
再根据（2）知
（ ） 亦即
是齐次方程组
矩阵，
知是又因
线性无关，
若
矩阵，那么
所以
非零且与
是n 个方程m 个未知数的齐次线
均正交，
则秩
关于r （A ）也可由下面公式确定.