当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

则F （x ）, G （x ）在又因为

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

因此

2． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:

【答案】两次应用洛必达法则得

第 2 页，共 29 页

, 使得

上满足柯西中值定理的条件, 于是存在

, 使得

应用柯西中值定理可得, 存在,

3． 对

【答案】令因此

应用拉格朗日中值定理, 试证:对x>0有

, 则

, 对

应用拉格朗日中值定理得

9

故

4． 证明:若函数列

,

在[a, b]上满足定理的条件, 则

设由

为

的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知

故从而

由为

的收敛点可知, 对任意

存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当

从而当所以

时,

有

在[a, b]上一致收敛.

时, 总有时, 对任意

有

在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的

有

在[a, b]上一致收敛.

一致收敛, 不妨

设

【答案】由题

设连续

且

二、解答题

5． 抛物线

【答案】设圆故

第 3 页，共 29 页

把圆分成两部分, 求这两部分面积之比.

表示另一部分的面积, 则

表示图中阴影部分的面积,

于是

面积为

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

图

6． 设

【答案】

为单位球面

计算曲面积分

7． 设f （x ）在

上连续,

求T n

（x

）（即确定系数

最小.

【答案】设a n , b

n 为f （x ）在

）,

使均方差

上的傅里叶系数, 而

上式第一、三项为常数. 由此可见, 当且仅当

时最小, 最小值

第

4

页，共 29 页