2018年北京航空航天大学数学与系统科学学院609数学专业基础课之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 若x=1, 而
【答案】
,
当当
时, 时
,
, 问对于
,
与dy 之差分别是多少?
,
2． 求下列函数的极值点:
（1）（2）（3）
【答案】（1）解方程组
得稳定点（a ，a ）, （0, 0）， 由于
所以（a ，a ）为极大值点，
所以（0, 0）不是极值点， （2）由
得稳定点（1，0），
故函数f （x ，y ）在点（1，0）取得极小值• （3）解方程组
得稳定点:
第 2 页，共 29 页
由于
所以
3． 设
令
（1）f （x ）在
. 求证:
上可导, 且导数只在
处不连续; 处不连续.
,
且
, 所以由连续性定理
知
为极小值点.
（2）f （1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因
为
. 又当
时,
因此在上连续, 且, 从而
在上一致收敛. 于是函数在
上可导, 且
又因为在上可导, 导数在点处不连续, 所以
在（2
）
上可导, 且导数只在点处不连续.
, 故由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导数只在
点
处不连续.
4． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点.
【答案】用反证法, 只对x 0是f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I 上的最大值点, 则存在一点
, 使得
（不妨设
. 由连续函数的最大最小值定理知, （f x ））
第 3 页，共 29 页
在上存在最小值m.
因为,
使
,
取
, 而x 0是f （x ）的一个极大值点,
所以存在,
则当
时
,
,
即
是f
（x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立.
5． 设函数f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则
【答案】
因
则
6． 求心形线
【答案】所围图形的面积为
7． 试作一函数
使当
时,
所围图形的面积.
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数
满足
因为
故（2）函数同理
不存在，
满足
也不存在. 但是
第 4 页，共 29 页
不存在.