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一、综合题

1． 应用

【答案】设

求

在任何[c, d] （c ＞o ）内一致收敛

.

所以

则

2． 计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面Z=1所截部分的外侧. 方向向上. 有

而

从而,

3． 叙述函数极限

的归结原则, 并应用它证明

内有定义,

的数列内有定义. 且不存在.

但

极限

不存在

存在的充要条件是: 都存在且相等.

【答案】（1）归结原则设f 在对任何含于（2）证明如下:则有由归结原则知

且趋于在

4． 计算下列曲线积分:

（1）（2）（3）（4）B :

（5）（6）

, L 是抛物线

从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;

.

,

若从x 轴

,

L 是维维安尼曲线

其中L 是由

和x+y=2所围的闭曲线;

其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线

L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点

正向看去, L 是逆时针方向讲行的.

【答案】（1）闭曲线L 如图1所示, 其中AOB —段为, AB —

段为

,

, 所以

图1

（2）双纽线在第一象限的参数方程为其极坐标方程是故

由于被积函数与L 的对称性, 有

（3）由所以

,

有

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（4

）有向曲线L

如图2所示, 它的参量方程是

, 所以

曲线从

到

、

图

2

（

5）对

L :

有

（6）设当t 从减小到

则维维安尼曲线的参量方程是时, 描出了曲线的方向, 于是

5． 设

（1）（2）（3）【答案】 （1）

|

.

为可导函数, 求:

,