2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院604高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1．
设
是m
阶矩阵
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值
，是对应于它的特征向量.
即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明
.
式得
因此令
3．
设矩阵
可相似对角化，求x
证明H 是对称的正交阵.
事实上，由
2． 设x 为n 维列向量
.
【答案】对称性
：正交性
：
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根）
，
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量
方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
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4．
求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A
的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
得单位特征向量对应于特征值
解方程（A —2E ）x=0.由
得单位特征向量
对应于特征值
解方程（A-llE ）x=0.由
得单位特征向量令
则P 为正交阵，并且正交变换
即为所求，在此变换下，
二次曲面的方程化为标准方程
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5． 设3阶对称阵A
的特征值为与特征值
A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A
的对应于特征值
由对称阵特征向量的性质知
，
其系数矩阵
与
和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是
，是它的一个基础解系，取其为
（2
）把向量组用施密特方法正交化，得
（3
）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，
并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q
按列分块为
则向量
是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
6． 非齐次线性方程组
当λ取何值时有解? 并求出它的通解.
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