2018年云南师范大学数学学院831数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明关于函数
（1）当（2）当【答案】即
（1）当（2）当
2． 设
时, 式（*）两边同乘以x , 得到时, 式
两边同乘以x , 得到,
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.
【答案】因为对任何正
数, 只有有限个
点使
, 所以二重积分存在且等于零.
当y 取无理数时, f （x , y ） = 0, 所以
,
. 因此函
, 因而存在一个分割T ,
使得
时, 时,
的如下不等式:
是不超过的最大整数, 因此
然而, 当y 取有理数时, 在x 为无理数处f （x , y ） =0, 在x 为有理数处数f （x , y ）在任何区间上的振幅总大于, 即函数f （x , y ）在显然就不存在先x 后y 的累次积分.
同理可证先y 后x 的累次积分不存在. 3． 设在证明和一切
在
【答案】因为
, 都有
内成立不等式
上一致收敛且绝对收敛. 关于
为
一致收敛, 所以任给
, 所以
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上关于x 的积分不存在.
. 若
, 存在
在上一致收敛,
, 对任何
即
关于一致收敛且绝对收敛.
二、解答题
4． 求下列极限（其中n 皆为正整数）.
（1）（3）（5）【答案】 （1）（2）（3）
（4）由公式
得
（5）由性知得
5． 设
,
可知, 当
故
, . 时, 有
. （1）计算
, 其中L 为
. 当
时, 有
根据迫敛
（2）（4）
螺旋线x=acost, y = asint, z = ct（条件下A 为有势场, 并求势函数.
【答案】 （1）
）; （2）设A= （P , Q, R ）, 求rotA ; （3）问在什么
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（2
）
（3）由（2）知, 当A=1时, rotA=0, 此时A 为有势场, 势函数
6． 讨论下列函数
的连续性与可导性. 【答案】对同理, 对
当x 0=0
时, 由于
, 取
, 在
内对任一有理数X 均有处都不连续, 当然也不可导. 处连续, 但由于
在
时极限不存在, 因而f 在
处不可导.
所以
. 当然g 在
处也连续.
7．
求由下列方程所确定的隐函数的偏导数:
（1）（2
）
【答案】（1
）令
故
原方程两边关于y 求偏导数, 得故
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,
对任一无理数X 均有
f （X
）=0.所以f 在
, 所以f 在
在X 。处也不连续、不可导.
对g , 由于
、求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数；
, 求
和
, 则
故
（2）把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得
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