2017年暨南大学经济学院709数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． (1) 设
(2)
设【答案】(1) 令
则
则
有下界，
又
上单调递减，则
两边取极限得
(2)
令
则
由(1) 知道时，
，而
收敛，令
收敛，所以
可知
是
的瑕点，
当
收
从而
其中
单调递减，从而由单调有界定理得
由于
在收敛，
且
在
上非负递减，证明
时证明数列
收敛.
有极限L ，且
收敛. 因此，数列
敛.
2． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续，且对任何
【答案】由
因为f 在x=l连续，所以当x>0时，
有
证明f 为常量函数.
所以
知f (x ) 是偶函数. 因为
而当
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时又
故f 为常量函数.
3． 设
(1) 任给(2) 存在
为开集
，
存在
当
当在
可微，试证明： 时，有
时，有
(这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 【答案】(1) 因为，在其中
即
处可微，依定义
当
时，有
(2)
在其中
4． 设有四个不同
的零点不同的零点；函数.
应用罗尔定理可知函数
’必有三个不同的零点；函数
有两个
有一个零点. 然而已知函数f 无零点，这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法
中取
则
为实数. 求证：方程
的根不超过三个.
那么函数
. 使
故当
肘，有
【答案】用反证法.
假设方程有四个不同的根
假设不成立，即方程至多只有三个根. 5． 设
【答案】由
知
且
证明：数列
收敛，且其极限为
又因为
有下界的. 所以，
数列边求极限，得到
6． 设
收敛.
令
解得证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
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即
由
或
知
数列是单调递减
两
(极限保号性) . 对
舍去负根，因此
使皆为有理数，则
若在每个
在(当
取点时) . 即
为非有理点，则
在D 上不可积.
因此的极限不存
二、解答题
7． 求
【答案】由分部积分可得
令
则
所以
故得
8． 设
可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有
则
又 9． 计算
【答案】
在任何不包含原点的区域内均有
因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有
其中
表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.
选取
适当小，使
完全落在L 内，则有
由此可得
其中L 是椭圆
方向沿逆时针方向.
所以
即
说明函数，在点P (x ，y ) 的梯度向量与1垂直.
试问此函数，有何特征？
【答案】设上确定向量1的方向余弦为
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