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一、证明题

1． 设

分别是

的UMVUE ，

是的UMVUE ，故

于是

►

因此

是

的UMVUE.

2． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，

证明：其分布函数F （X ）

有

【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知

由

对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图1表示:

，则

，则

，且对任意一个

，

，分别是

证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足

，由判断准则知

图1

3． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

常记为

时，记Y=X, 试证

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

这正是参数为为

（2）当所以

的柯西分布.

时有

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

服从参数

由于当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

4． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

的特征函数为

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.

独立同分布，且

且

令

试证明:

其中c 为常

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知

有

即 5． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

有

. 又设

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

二、计算题

6． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为:

表

（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.

（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？ 【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对做单样本t 检验进行. 一对假设为故可算出检验统计量值为

由于

，于是检验的P 值为

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于

正数的个数为2, 从而检验的p 值为

，这是一个

，观测

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6, 故符号秩和检验统计量为单边假设检验，检验拒绝域为

，在给定

下，可知