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一、分析计算题

1．

令

（1）证明

：

（2）由上式证明牛顿（Newton ）公式： 对于对于

【答案】（1）由

其

中

的次

数

或

得

令

则

因此

是一个多项式. 或者

或者

的次数

当即

对于

上式中左端设有的项，而右端项的系数和为

2． 求所有满足条件

【答案】在已知等式中，令由因式定理，

有因式

得设

所以

将式（1）、式（2）代入已知等式，由消去律得

即有无穷多个x , 使不

难验证，对任一常数a ，如上

3． 证明：酉矩阵的特征根的模为1.

【答案】设A 是一个酉矩阵，于是

因为

4． 设

所以

即A 的特征根的模为1.

是A 的一个特征根，是对应于的一个特征向量，即

满足题设要求.

均取同一值a ，所以

故

a 为常数.

由此有

的多项式

时，比较两端的系数. 由于

不含项，即得

（2）由（1）中公式可得

是线性空间V 上的可逆线性变换

的特征值一定不为0;

特征值，那么是

的特征值.

（1）证明：

（2）证明：如果1是

【答案】（1）设

的特征值就是A 的特征值. 由于

A 有特征值为零的充分必要条件是IAI=0.

故可逆时即A 可逆时，它的全部特征值皆不为零. （2）设

是，由（1）

即

是

a 是属于的特征向量，的特征值，则

乘它的两边，则得

的特征值.

5． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：

【答案】即

用辗转相除法可得

故f （x ）有重因式. 又因为

故

与

是

的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，X-4是f （x ）的单因式，

②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得

故g （x ）有重因式. 又易知

故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有都是

的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为

6． 设

求矩阵A 的不变因子，初等因子，若当标准形，有理标准形. 【答案】因为

故A

的特征值为

的初等因子是

故A 的有理标准形为

在某基下的矩阵A ，则

两边用去作用它，则[.

再用

而x+1是.f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为

与利用多项式除法又进一步可知，与

1

的几何重数为

不变因子是

故A

的若当标准形为

由