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一、分析计算题

1． 设V 为数域K 上n 维空间.

①证明：若②若

【答案】①住

取基. 现在令又显然②不一定但是易知

2． 设

其中（1）秩（2）若

例如，设V 是2维空间且

是V 的s 维子空间，则存在n —s 维子空间使

问：是否的一

基

则

为其一基，则显然

是V 的一

则在V 中存

在

个向

量

使

得

为3维列向量，矩阵

分别是

线性相关，则秩

的转置，证明：

【答案】（1）证法1:

证法2:

（2）由于线性相关，

不妨设

于是

3． 设f （x ）是一个复系数多项式，证明：

是f （x ）的所有系数换成其共轭复数后所得到的多项式，

是实系数多项式；

则f （x ）无实根，问：反之如何？

【答案】①设其中②由故项式.

并令反之亦然.

. 两边取共辄，并根据其轭复数性质得

但d （X ）次次且首系数都是1，故则由

得矛盾.

不一定互素. 例如，

即d （X ）是一实系数多

③反证法. 若f （x ）有实根故

也是.

的根，这与

反之，若f （x ）无实根，则f （x ）与

就是一例.

4． 设A ，B ，U ，V 均为n ×n 矩阵，且A=BU，B=AV，证明：存在可逆矩阵T ，使得A=BT.

【答案】将A ，B 按列分块，

记

可以由

线性表示，同理

.

因为

可以由

所以

线性表示，故A ，B

的列向量组等价，于是存在可逆矩阵T ，使得A=BT.

5． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明

：

【答案】若若当

时总有

其中于是

从而亦有

6． 设A ，B 均为n 阶方阵，A+B=AB，证明：r （A ）=r（B ）.

【答案】由A+B=AB，得

故

7． 设

（1）如果（2）如果【答案】（1）因为

类似可得，

故r （A ）=r（B ）.

故，

可令.

则

于是总存在实数c ，使当

时有

从而

是欧氏空间V 的一组基，证明： 使

对任一

有

那么

那么

都是

的线性

是欧氏空间的一组基，对任一

组合. 由

（2）对任一

8． 设

可推出

由

因此

可得

得

由（1）得

求方阵P ，使【答案】因为

，1的几何重数为所以A 的特征值是1 （3重）

设故即

取其基础解系

解线性方程组

得

解线性方程组令

则

注这里取特解

，我们也可以取别的特解（更可靠的办法是取通解）

得

取特解取特解

使

于是

解齐次线性方程

组

得

故A 的若当标准形是

为A 的若当标准形.

的目的是解方程组使之有解，从而可以得到

9． 设B 为一 证明： 矩阵，C 为一矩阵，且秩

（1）如果（2）如果【答案】（1）它只有零解. 故

（2）由

故即那么那么

就有

由（1）知

即有

故

的每个列向量都是齐次方程组

于是

的解.

是

的基础解系的秩为

阵，这方程组中有r 个未知数. 又秩