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一、证明题

1． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

2． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

的概率分别

是

证明

：

其雅可比（Jacobi ）行列式为

的联合密度为

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由该联

合密度我们可以知道是独立同分布的随机变量, 且从而

这是指数分布就证明了

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

3． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

4． 设

是来自几何分布

的样本, 证明

是充分统计量.

其分布列为

在给定T=t后, 对任意的一个样本

, 有

【答案】由几何分布性质知,

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如

这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”

的个数依次记为且

我们指出, 此种序列共有

, 这就是在

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这里诸服从几何分布,

, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）

给定后

的条件联合分布.

即每一个出现的概率都是

这个条件分布还表明:

当已知统计量（

统计量的真实含义.

5． 设随机变量序列证:

【答案】己知则

的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本

）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

试

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

6． 设由

, 结论得证.

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

7． 如果

【答案】记因为令而

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, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且