2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程复试实战预测五套卷
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一、计算题
1． 设随机变量
【答案】从
已知E （X ）=2.4，
和
求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6，p=0.4.
2． 检查四批产品, 其批量与不合格品率如下:
表
试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为
3． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数【答案】（1）因为当0 所以X 与Y 不独立. ’这是贝塔分布 ；（2）X 与Y 是否独立？ 4． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发，现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？ 【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率 其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为 考察相连两项比值 当且仅当N ＜15000时，A （N , 10） ＞1; 当且仅当N ＞15000时，A （N , 10） ＜1, 因此，只有在N=15000时，L （N ; 10）达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估计. 5． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）: 1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差 因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562. 6． 口袋中有n-1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 【答案】记事件 为“第k 次摸到黑球”，因为计算 较难，故先计算 由于口袋 中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球变，故 7． 已知随机变量Y 的密度函数为 在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为 则前面k-1次一定 不能摸到白球，即前面k-1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白球数不 求概率【答案】因为 所以 8． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为： 试分别在下列条件下检验假设（ 设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知 （2）未知. ） . 已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为若取 由样本数据计算如下结果， 检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水 平s=0.4760, 查表 得 一其中检验统计量 取 由样本观测值计算 故接受原假设. 二、证明题 9． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式 （1）（2）（3） 【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式. （1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记 为第k 次取到白球的概率，则有