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一、计算题

1． 设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用. 2 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求

【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出

譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入

）就表示自由度为

的F 分布在x 处的分布函数.

则给出0.0798,

这里的

则有

, 于是

.

试

3． 设二维随机变量（X ，Y ）服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由x-y=0，x+y=2与y=0所围成的三角形区域.

（I ）求乂的概率密度（II ）求条件概率密度

；

。

【答案】（I ）（X ，Y ）的概率密度为

X 的概率密度为

①当x<0或x>2时，②当③当综上所述

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时

，时

，

（II ）Y 的概率密度为

在

时，X 的条件概率密度为

4． 某饮料商用两种不同配方推出了两种新的饮料，现抽取了10个消费者，让他们分别品尝两种饮料并加以评分，从不喜欢到喜欢，评分由1〜10，评分结果如下：

表

问两种饮料评分是否有显著差异？ （1）采用符号检验方法作检验； （2）采用符号秩和检验方法作检验. 【答案】10个差值为

（1）由于差值中正数的个数为5，从而检验的p 值为

P 值很大，故不能认为两种饮料评分有显著差异.

（2）四个负的差值的秩分别为2.5，2.5，4和5，故符号秩和检验统计量为双边假设检验，检验拒绝域为表知

而

在给定

这是一个下，查

观测值没有落入拒绝域，故也不能认为

两种饮料评分有显著差异，二者结果一致.

5． —盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品. 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率.

【答案】记事件

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为“第i 次取出合格品”，i=l，2. 用全概率公式

6． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X/Y的密度函数:

（1）（2）

【答案】（1）因为当数为

使上式中的被积函数大于0的区域是

与

的交集, 所以当z>0时, 有

（2）因为当x>0时, 为

使上式中的被积函数大于0的区域是

与

的交集, 所以当z>0时, 有

7． 试求以下二维均匀分布的边际分布:

【答案】因为在

时, 有

所以X 的边际密度函数为

又因为

在

时, 有

所以Y 的边际密度函数为

的非零区域内,

当

时,

有

所以

当

的非零区域内, 当

时, 有

所以当

且当y>0时

,

所以Z=X/Y的密度函数

时,

且当y>0时,

. 所以Z=X/Y的密度函

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