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一、计算题

1． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.

【答案】一般不重合. 因为回归方程

可化为

而

化为

当且仅当数据

2． 设

时两条直线重合. 我们知道，

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

表示相关系数的绝对值为1，即n 组

1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.

不重合时，它们一定有交点

是来自均匀分布

与

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

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与（**）两式相加与相减可得

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

3． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

4． 某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为X=2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车数是相互独立的, 求一年中售出700辆以上汽车的概率.

【答案】

记

为第i 天出售的汽车辆数,

则, 知

为一年的总销量.

由

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得

这表明:该销售点一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.

5． 某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布

0.25.

（1）求. 少？

【答案】（1）由

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若已知

各为多少？

（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg 的概率是多

知

由此解得即，

又由

查表知

由此解得

其中

所以“5名中至少有两人体重超过65kg”的概率为

6． 向

中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图）

.

（2）记Y 为选出的5名成年男子中体重超过65kg 的人数，则

【答案】先求X 的分布函数，作

图

=0；，设X 的分布函数为F （X ）则当x<0时，有F （x ）当时，为了求概率

作

=1；时，有F （x ）而当

使EF 与AB 间的距离为x. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

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