2017年新疆师范大学应用数学(同等学力加试)之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从区间（2，5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.
【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为
设Y 为此种观测（X>3）的次数，则Y 〜b （3，2/3），由此得
2． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
而
化为
当且仅当数据
时两条直线重合. 我们知道，
表示相关系数的绝对值为1，即n 组
1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.
不重合时，它们一定有交点
若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则
3． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？
【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是
又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是
从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别. 4 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果服从正态分布．
测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得的差异小于0.1.
5． 设
【答案】因为
所以
6． 设一个单一观测的样本x 取自密度函数为平p （x ）的总体，对p （x ）考虑统计假设：
若其拒绝域的形式为试确定一个c ，使得犯第一，
二类错误的概率满足
并求其最小值. 【答案】由因此，当
时.
，
并且此时的最小值为.
可得
, 从中解得
, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a , 所以根据题意可列如下不等式
. 记为
n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要
，对k=l，2，3，求
与
7． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且
【答案】因为
8． [1]设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为
所以
，其中
的置信区间.
试求
为未知参数，
为抽自此总体的简单随，现从此批产品中抽取容量为
[2]设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为9的样本，测得寿命为（单位：kh ）
求平均寿命
的置信水平为0.9的置信区间和单侧置信上、下限.
，根据伽玛分布的性质，
【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知
从而
.
因此可得的置信水平为
的置信区间为
查表可得，
.
[2]这是题[1]的一个具体应用. 计算得
根据上题结论可知，的置信水平为0.9的置信区间为[0.0088, 0.0272], 单侧置信上限为0.0245, 单侧置信下限为0.0102. 所以，平均寿命1A 的置信水平为0.9的置信区间[36.76，113.64], 单侧置信上限为98.04，单侧置信下限为40.82.
二、证明题
9． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
使当
使有时, 任对
, 有
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
和
都是连续、严格单调函数,
又设
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有