2018年西北农林科技大学水土保持研究所314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从（0, 1）上的均匀分布，试求以下Y 的密度函数:
（1）（2）（3）（4）
J
【答案】X 的密度函数为
（1）因为Y 的可能取值区间为函数，其反函数为
，且
，且
. 所以
在区间（0, 1）上为严格单调减
的密度函数为
（2）因为Y 的可能取值区间为（1，4）, 且函数，其反函数为
. 且
. 所以
在区间（0, 1）上为严格单调增的密度函数为
（3）因为Y 的可能取值区间为其反函数为
. 且
，且所以
在区问（0, 1）上为严格单调增函数，
的密度函数为
（4）因为Y 的可能取值区间为其反函数为
，且
，且所以
在区间（0，1）上为严格单调减函数，的密度函数为
2． 设
为独立同分布的随机变量序列，其方差有限，且
不服从大数定律.
则
由此得
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不恒为常数. 如果试证:随
机变量序列
【答案】记
倘若
服从大数定律，则对任意的
有
于是，当n 充分大时，有
记
则
由此得
由的任意性，不妨取这与前面推出的 3． 设
独立同分布，且都服从
分布，试求
，
的分布.
则当n 充分大时，有相矛盾，所以
不服从大数定律.
【答案】因为的特征函数为
所以由诸的相互独立性得的特征函数为这正是正态分布 4． 设随机变量问d 至多为多少？
【答案】⑴
的特征函数，所以由唯一性定理知，（1）求
；（2）求
；（3）设d 满足
查表得
，由此解 得
（2）（3）由
多取0.154.
5． 设随机变量X 的分布函数为
，故d 至
»
试求
.
【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为
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6． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得
从中解得
取
即可以
服从正态分布
记问至
的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式
的把握使平均值与实际值a
的差异小于
7． 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求
【答案】由古典概率可得
和的分布.
这就给出了
的分布列
表
1
类似地，从而
这就给出
的分布列
表
2
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