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一、计算题

1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为

，与n 无关.

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出

•

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记

（2）设其中

. 以下对n 用归纳法:

，则

»

，代入可得

由归纳法知结论成立.

2． 设一批产品中一、二、三等品各占取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

，所以AB=B，于是所求概率为

3． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44，问这一天纤度的总体标准差是否正常（取

）？

【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

，查表知， 此处n=5, 若取显著性水平故拒绝域为

，由样本数据可计算得到

因此拒绝

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有

. 从中任意取出一件，结果不是三等品，求

，认为这一天纤度的总体标准差不正常.

4． 某地区18岁女青年的血压X （收缩压，以青年的血压在100至120的可能性有多大？

【答案】

计）服从. 试求该地区18岁女

其中

5． 由正态总体

【答案】因为用

表示服从

抽取容量为20的样本，试求

所以

的随机变量的分布函数值，则

利用统计软件可计算上式. 譬如，可使用在命令行输入直接输入这里的

则给出

输入则一次性给出

软件计算上式:

则给出

是用内插法得到的.

就表示自由度为k 的分布在x 处的分布函数值. 于是有

6． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？

【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为

表

1

所以

7． 设随机变量X 服从（一1, 2）上的均匀分布，记

试求Y 的分布列.

【答案】因为.

表

2

8． 若

【答案】因为

，所以Y 的分布列为

，如果A ，B 相互独立，试证:A , B 相容.

，所以

，即A ，B 相容.

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布 10．

设计.

【答案】由于

这就证明了

11．设由

明:样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|

即

，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

是的相合估计.

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

独立同分布

,

证明

:

是的相合估

的特征函数，由唯一性定理知

且X