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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】令

，收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

2． (1) 问

【答案】(1)

因为

从而

即

是以1为周期的周期函数，其图像如图所示

.

图

(2) 不一定. 例如，函動

3． 设

求证：

就不是周期函数.

联合

与当当即得

即得和

两种情况考虑

.

，

时，

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：仍收敛，

其中.

所以级数收敛到

是否是周期函数？并画出它的图形(其中

所以

：表示的整数部分) ；

按

的定义，

即得

(2) 两个周期函数之和是否一定是周期函数？

【答案】方法一：

方法二：分

时，

4． 设函数列

函数(不要求一致有界) . 证明

：

【答案】

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

在I 上必一致收敛.

都是I 上的有界

首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而

所以

存在正整数

使得

同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数

当因此

时有

在I 上一致有界.

由

故存在正整

当时有

令，

最后证明n>N时，

有

，则

取正整数N ，使得当

有

于是当n>N时，

有

故

在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) .

二、解答题

5． 求

在球面

时，函数

上的极大值；并证明当a , b , c 为正实数时，有

【答案】构造拉格朗日函数

令

解出驻点为

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下面来判断这个驻点为极大值点. 由

可得L 在驻点处的海森矩阵

显然，I 负定，故驻点为极大值点，而且极大值为

故f 的最大值只能在内部取到，而内

因为f 在球面位于第一卦限的部分上连续，所以f 必在其上取到最大值. 注意

到当动点趋向于边界线(其上x ，y ，z 之一为0) 时，即

当

且满足

时，有

部有唯一的极大值点，因此这个极大值点也必是最大值点，且最大值为

取

，上式变为：

两边平方，即得

6． 试求心形线

【答案】所求平均值为

7． 计算曲线积分

其中为圆周：

L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

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上各点极径的平均值。