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一、证明题

1． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

使得因

在

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

2． 设

为n 个正数，且

证明:

【答案】(1) 由洛必达法则得

(2) 设

有

因为

由迫敛性知，

作曲线C 的切线，选取的近似可求量

则也可以

3． 证明：如果在旋转曲面的面积公式(3) 的推导过程中，过点该切线在得到公式(3) 。

【答案】

因为过点

作曲线C 的切线，

其方程为

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分别为在上的上、

均有

令

则

且

的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积作为

选取该切线在

的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积

即即

又因为当所以得到

4． 设

(1) 存在

在

使

(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见，只要式，

故c 的最小值为

.

上述不等式总成立.

使式(1) 中等号成立. 易见，当

时，式

变成等

在

上展开成正弦级数

上连续可导，

证明：

时，有

(2) 为求c 的最小值，必须求

二、解答题

5． 按函数作图步骤，作下列函数图像：

【答案】（1）函数

的定义域为

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容易求得曲线与坐标轴交于以

下几点

：

由

得

表

1

由得稳定

点

函数图形如图1所示。

图1

（2）函数

的定义域为

由

得由

表

2

知，

曲线有垂直渐近线

由

支n ，

曲线有水平渐近线

得

曲线与坐标轴交于点

由

函数图形如图2所示。

图2

（3

）函数

的定义域为由

得

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它是一个奇函数，

曲线经过原点

由

得