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2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研强化五套模拟题（一） . 2 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研强化五套模拟题（二） . 6 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研强化五套模拟题（三） 13 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研强化五套模拟题（四） 17 2018年黑龙江大学中俄学院（中俄联合研究生院）850数学分析考研强化五套模拟题（五） 23

一、证明题

1． 设

【答案】因为f 为有

内,

又因为

取

证明

不妨设则当

, 存在时,

故

2． 若函数u=u （x , y ）满足拉普拉斯方程. 满足这个方程.

【答案】设而由

及

注意到

, 则有

即v 也满足拉普拉斯方程. 3． 求证:

在

上一致收敛. , 可得

又

收敛, 由M 判别法即得原级数在

上一致收敛.

【答案】方法一:由

’‘

, 则

. , 证明:函数

也

使得当

时.

在

则由函数极限的局部保号性知

.

时的无穷大量, 所以对任意的

方法二:记情形

.

, 先求函数的最大值, 由于知u n （x ）为奇函数, 只需讨论

的

又

, 故

是函数

的最大值点. 因此

二、解答题

4． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.

【答案】

假设存在, 使得对一切

故必在D 上f （x , y ） =0.

5． 求由抛物线与直线

【答案】因为积为

其中

所以

6． 计算

,

使得

,

有

.

不妨设

则

. 由连续函数的保号性知:

存在, 与已知

矛盾.

上有

, 则在D 上

所围图形的面积. 的交点为

与

所以由这两条曲线所围图形的面

其中为圆锥曲面 被平面z=0, z=2所截部分的外侧。

【答案】由高斯公式, 然后再由球坐标变换得

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7． 求

【答案】因为

所以

8． 设f

（x ）在

上可积, 则

【答案】

先证明事实上,

由定）且

,

根据A —法, 时,

有

特别地, 有

由f （x

）在

又因为于是,

上可积可知,

它在所以对上述, 当

时, 有

即

上有界,

即

. , 当

时,

, 有 有

在

上一致收敛

. 于是,

, 当

收敛

（即

在

. 上一致收敛. 关于y 一致收敛）, 及

关于x 单调（

固