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一、证明题

1． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:

（1）存在（2）存在【答案】（1）令

, 使得使得

, 则

∵函数∴函数

在闭区间在闭区间

上连续, 上连续.

使得

（2）令

显然

在闭区间

上连续, 在开区间

且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在

使得使得

由于

所以有

2． 设f f （x ）在有限区间上有定义，证明：（x ）在上一致连续若{xn}是中的柯西列, 则. 也是柯西列.

【答案】

:

对

, 由f （x ）在上一致连续, 则. 设{xn }是中的柯西列, 则对上述的

当m , n>N

时有

, 从而

, 即

第 2 页，共 24 页

,

.

由连续函数的零点存在定理知, 存在即存在使得

内可微. 由于

, 时有

, 当且

, 存在正整数N ,

为柯西列.

:若f

（x ）在上非一致连续, 则但因

从而穿插之后序列恒有

3． 证明:若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

, 故

. 由

, 对有界, 因此

存在

也收敛于相同的极限,

,

虽然

.

,

中存在收敛子列

中相应的子列

亦收敛, 即为柯西列, 但其像序列

, 不是柯西列, 矛盾

. 所以f （x ）在上一致连续.

为递增（递减）有界数列, 则

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是, 当

时, 有下确界. 令时

,

即

时,

又问逆命题成立否? 有上确界

. 令

即, 则对任给的又因为a 是

这个数列则对任给

又因为n 是

的. 因存

【答案】（1）若存在N

,

使得

上

界, 所以对一切

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

的下界, 所

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列, 例如收敛到它的上确界1, 但不是单调数列.

4． 证明

:若

S 为无上界数集

,

则存在一递増数列

【答案】令且

. 如果已找到.

令

使得

则存在

.

使得

即

, 存在.

使得

再令

使得

则存在

使得

即

由

归纳原理知, 存在一递增数列

二、解答题

5．

验证下列线积分与路径无关, 并计算其值:

（1）（2）

【答案】（1）因

所以所给路曲线积分与路径无关, 从而

（2）因

第

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, 其中

在球面

上.

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所以所给曲线积分与路径无关, 且

由于

6． 求由抛物线

和

与

在球面上, 所以原式=0.

所围图形的面积.

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1

）, 所围图形的面积为

图

7． 讨论函数项级数

【答案】当0l时，

级数收敛.

不趋于0, 所以不一致收敛.

，即

于是，对于任意的

敛.

8． 设

【答案】

,

而

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在（

0，1）和

的一致收敛性.

所以

，x>l

,

存在，当n ＞N 时，因此，级数一致收

, 求.