2018年南昌航空大学数学与信息科学学院609数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若正项级数
收敛, 且数列
单调, 则
, 存在N , 当n>N时, 有
故
从而
又从而
2． 给定两正数与
证明:【答案】由又因为因此
,
于是
3． 设
【答案】因为
所以
第 2 页，共 45 页
【答案】因为正项级数又由
单调可知
收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数
发散）, 从而
必单调递减（否则级数
, 故
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
与等比中项
因而
一般的令
所以
为单调递减,
即
为单调递增. 并且
对
皆存在且根等. ，证明:
即
都是有界的. 根据两边取极限,
得
单调有界定理
知的极限都存在.
设
4． 证明下面的方程在点, （0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.
【答案】令
则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续,
在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 且由隐函数求导法则易知
所以
于是
5． 设
【答案】令在又有
内可导,
, 故由柯西中值定理, 存在
, 证明存在
. 使得, 则
在, 于是当, 使得
6． 设D （x ）为狄利克雷函数
,
取
,
对
及
, 证明极限
不存在.
, 使得
不存在 ,
使得
一个是
. 上连续,
时, , 即
与
不同时为零.
, 于是由隐函数存在定理, 方程F （x , y , z ） =0
在点（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y ）, 满足f （0, 0） =0.
,
【答案】方法一:利用柯西准则的否定形式.
, 由实数的稠密性知, 存在
, 从而
及无理数列
有理数, 一个是无理数, 于是有
方法二:利用归结原则的否定形式.
对
, 存在趋于X 0的有理数列, 从而
不存在.
二、解答题
第 3 页，共 45 页
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
7． 讨论反常积分
【答案】当故当所以
8． 讨论下列各函数列
（a
）（b ）（1）（2）（3）
【答案】 （1）设
.
与
时, 对一切发散, 从而
时, 对一切
的敛散性.
有发散.
有
收敛, 又
在所定义的区间上:
存在, 故
而收敛.
收敛,
而
发散,
的一致收敛性；
则
是否有定理的条件与结论.
所以（b ）因为
的结论. 又
及在[0, b]上均一致收敛.
在[0
, b]上一致收敛
, 且每一项均连续, 故
满足定理的条件, 进而有定理
满足定理的条件及结论.
在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故
而
（2） （a ）
故
在[0, 1]上有间断点, 故
（b ）因定理的结论.
（3） （a ）
, 故
在[0, 1]上不一致收敛.
即
在[0, 1]
上一致收敛,
且每一项均连续,
所以
不具有定理的条件. 又
在[0, 1]
上一致收敛. 又g （x ）具有定理的条件与结论. 由于
, 从而
也不具有
在[0
, 1]上不一致收敛, 故
故
. 易求得
第 4 页，共 45 页
在处取得[0, 1]上的最大值