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一、证明题

1． 证明：设方程

所确定的隐函数

具有二阶导数，则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

2． 证明

【答案】令

则

所以

3． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

即

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时，有

其中

证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

方法二设

由所以

4． 证明：

【答案】

于是，对于

存在M>0, 使得当

时，有时.

. 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切

故

为有界函数.

证明：

则存在

从而有

产生矛盾，于是 6． 设

【答案】先用数学归纳法可证：

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①，②式知

单调递増有上界，

极限存在，可设

证明：

收敛，并求其极限.

5． 设X 与Y 是中两个不同的量

【答案】假设即

' 为有界函数. 可得

的有界性定理知，存在S>0，使得当

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注意到

1<1.

7． 证明：若

【答案】由

又因为

数列

也有上界. 设正数

和

为递增数列，

为递减数列，且

则

与

都存在且相等.

f 上界，因而

可知，数列为递减数列，所以是

的一个上界. 由

是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，

于是，数列

可得

与

都存在. 再由

综上所述，得

都是单调有界的，所以

二、解答题

8． (1) 设

为正项级数，且

有

. 能否断定能否断定级数

使得

但收敛？

不绝对收敛，但可能条件收敛？(3) 设

发散.

从而

(3) 不一定.

如取

9． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：

【答案】(1) 因为所以

(2) 因为所以

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(2) 对于级数

为收

敛的正项级数，能否存在一个正数

【答案】(1) 不能. 如取(2) 不能. 由题意知

故

且

发散. 则存在

. 则

满足条件，

但若取

可知收敛，

但对任意的