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一、证明题

1． 证明

：

【答案】令

其中

因为

所以函数

所以

2． 设

是

在即

上是凸函数. 因此

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记(1) 若存

在

使得

当

则

这表明记为上

由(2) 若存在

(3)

若存在

使得当

满足

：

使得

时，恒有

可得

这种情形可仿照(1) 证明.

. 使得而且

3． 设

【答案】

证明：当

时，

可以用来作为曲线坐标，解出

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而

存在数列满足

分三种情况讨论.

时，恒

有

而且

是单调递增数列. 注意到

的有界性，利用单调有界定理，

存在，

即

取

由连续函

于是，有

数根的存在定理知，存在

作为

的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.

所以故

当

=时

，从而

都连续

且

可以用来作为曲线坐标

.

分别对应

平面上坐标曲线

如图1、2所示

由反函数组定理知，存在函数

组

图1 图2

因

而前面已算得

即

4． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及根据定理

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互为倒数.

在

点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.

在[0，1]上连续。

可知级数

5． 在[0，1]上定义函数列

再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得

从

而时，

有

及

有

恒成立. 所以对于任

意

取

当n>N时，对任意的

由柯两准则知，级数而正项级数优级数

6． 证明：若在

在[0，1]上一致收敛. 若

发散，

这与

存在优级数. 特别取，有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾，因此级数

上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在

使得

【答案】设则于是有

由假设使得

为单调函数，故不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在

7． 设S 为非空数集，定义

⑴

(2)

证明：

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