2017年郑州大学联合培养单位黄淮学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求椭圆
上纵坐标最大和最小的点。
, 故
, 从而得到椭圆上的点（l , 2）,
【答案】在椭圆方程两端分别对x 求导, 得令y’=0, 得y=2x。将y=2x代人椭圆方程后得
（-l , -2）。根据题意即知点（l , 2）, （-1, -2）为椭圆上纵坐标最大和最小的点。
2． 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数
?
【答案】（1）为偶数。 （2
）
，因
为
，所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。
（3）（4）（5）
因为
，因为
，所以f （x ）为奇函数。
，因为
且
所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。 （6）
3． 判定函数
【答案】上单调增加。
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，因为 ，所以f （x ）
且
所以f （x ）为偶函数。
，因为
的单调性
且
仅在
，所以f （x ）为偶函数。
时成立, 因此函数在[0, 2π]
4． 把对坐标的曲线积分
2
化成对弧长的曲线积分，其中L 为:
（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）; （2）沿抛物线y=x，从点（0，o ）到点（1，l ）; （3）沿上半圆周
从点（0，0）到点（l ，l ）。
【答案】（l ）L 为从点（0，0）到（1，l ）的有向线段，其上任一点处的切向量的方向余弦满足
于是
（2）L 由如下的参数方程给出：
，其方向余弦为
于是
（3）L 由如下的参数方程给出：量的方向余弦为
，x 由小到大地从0变到1，故L 的切向x 由小到大地从0变到1，故L
的切向量为
于是
5． 利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）
【答案】（1）由
，其中
是由曲面，其中
是由曲面和
及
及平面
消去Z ，得
所围成的闭区域； 所围成的闭区域。
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从而知可表示为
在面上的投影区域为（图）。利用柱面坐标
，
图
于是
（2）由域为
及
消去Z 得。利用柱面坐标，
，从而知可表示为
于是
在
面上的投影区
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