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一、综合题

1． 证明:

(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数； (2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意

有

设I

则

故

是奇函数.

有

设

则

故

是偶函数.

故

2．

设

也是以T 为周期的周期函数. 定义在闭矩形域

固定的

上，若f 对y 在为y 的连续函数，

故对

又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述

且

现取

便有

只要

且

时，总有

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(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意

(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意

上处处连续，对x 在

当

上(且且

关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

时，有

也存在

对满足

的任何y ，

只要

因此，f 在S 上连续.

3． 设

使得

【答案】取

在

内可导

，且

足够大，使得

则有

再由拉格朗日定理，

使得

联合(1) 式与(2) 式，即

4． 设

令(1

) (2)

求证：

上可导，且导数只在

(0，1) 上可导，且导数只在

且

处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.

且

求证

：

【答案】(1) 因为又当

时，

因此从而

在上一致收敛. 于是函数

上可导，且

又因为上可导，导数在点处不连续，所以

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在(2)

上可导，且导数只在点，

故由(1) 知

处不连续.

1) 上可导，在(0，且导数只在点

处

不连续.

5． 令f 是R 上周期为

的函数，当时满足

(1) 证明f 的傅里叶级数具有形式并写出的积分表达式. (2) 该傅里叶级数是否一致

且

收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. (3) 证明

【答案】(1) 由于

.

(2) 不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知

由于(3) 由干

在

上连续，但和函数在

是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形

另

上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛.

上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立

6． 设

是有界闭集为E 的直径. 证明：存在

1知，

对

则存在

使■

使得

而

【答案】

由

均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列

则令 7． 求

【答案】因为

所以

8． 若

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得

，

即

由于E 为闭集. 从而