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一、分析计算题

1． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量

的两个解.

（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数；

（2）将

正交化，则

再单位化，得

将单位化，得

令

则Q 是正交矩阵，D 是对角阵，且（3）由A 的全部特征值为B 的全部特征值为

且

则于是

2． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2 和符号差等于0, 或者秩等于1.

【答案】必要性. 如果实二次型有两种可能：

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是线性方程组

其中B 是

的相似矩阵，

是B 的伴随矩阵.

的两个线性无的特征向量. 注意

是

是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值

关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则

是A 的特征值，对应的特征向量分别

的全部特征值为

由

则

可分解成两个一次齐次多项式的乘积：

（1）于是

因为

是可逆的. 并且此时（2）

不全为0，以

为第一行，作一个可逆矩阵C ，线性替换

经过这个线性替换化为

线性无关. 于是以

为

的秩等于1. 与

第1、2行作一个可逆矩阵C , 可逆线性替换

将再令

化为

则

充分性. （1）如果

的秩为1，则

可经可逆线性替换

所以在这种情况，f 的秩等于2, 符号差为0.

化为

（2）如果替换

化为规范形

这两种情形都说明

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的秩为2, 符号差为0. 则可经适当的可逆线性

可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积.

3． 设A ，B 是两个实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明存在一

使

记

实可逆矩阵T 使

同时为对角形.

【答案】因为B 是正定矩阵，故有可逆矩阵是实对称矩阵，故有正交矩阵令

则

同时为对角形.

4． 设X 、Y 是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则

为对角矩阵. 因为

是正交矩阵，故

【答案】（1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

由柯西公式得

（2）因为A 正定，故存在正交阵T ，

所以

取

则

所以

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