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一、分析计算题

1． 设V 是有限维向量空间, 换）. 证明:

（1）（2）【答案】（1） 由

于是

故综上所述

类似可得

有

有

则

故

且则存在则

则

故是单射.

由

使

于是由（1）得

. （偶数）

则是满射, 于是是双射, 故是同构映射. 由V 是有限维向量空间,

2． 己知矩阵

（2）显然保持线性运算. 若

这里注意到

故

知

于是

反之

,

是同构映射, 由

则

则存在

（1）

是偶数.

是V 上的两个线性变换, 且有

及

（1是恒等变

问a , b 为何值时, A 与B 相似, 并求可逆矩阵P 使得【答案】若

则

于是得方程组

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解得当

时, 由

故A 的特征值为解方程组

取基础解系

令 3．

设

则

且

取基础解系

解方程组

P 是一个数域，是P 上的一元多项式环. 称

，

，使得对于任意

的非空子，有

有

是

的理

集为的理想，如果对任意

中任意理想I ，存在

证明:（1）对于（2）对任意想，

且

是

的最大公因式. ，取

，则结论成立. 若

，

这里

，

则

，

由

的取法矛盾，故

使得

.

则.

，

是余式.

，

【答案】（1）若作带余除法只要证不然

，这与（2）于是

取I 中次数最低的首一多项式为

有

故I 是于是

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有

的公因式. •是

的组合，故

是

的最大公因式.

. 显然

的理想. 是

由（1），J 中存在由J 的定义知

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4． 设

试证

是线性空间V 的一组基, 是它的对偶基,

表出）.

是V 的一组基并求它的对偶基（用

【答案】可利用定理3. 计算

由于右端的矩阵的行列式

故

是V 的一组基. 设

是

的对偶基, 则

即 5． 设

都是3阶方阵当

时，求

【答案】由

①-②得

而所以

但

所以由④式可得

其中

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由③得