2017年辽宁大学数学院843线性代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1 设A 是数域P 上的n 阶幂等阵，．即
【答案】证法1:从
而
又
有
故
是直和，从而
且
所以
是线性方程
组
所以
又由所以 2． 设
是关于内积
正交化：易知
于是得正交基：
再标准化：由于
且
故得
的一标准正交基为：
作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.
知
的解空间，维数
为
又
因
而由
所
以
因
此
证明：
知
所以
有
证法2:由证法1
知是直和.
又
是的解空间，维数为
【答案】先将基
3． 设3次多项式
能被（1）求（2）问
整除.
是
的几重因式.
即
计算行列式得
因此b=a或b=l. 另一方面，因为
是一个3次多项式，所以其3次项系数不为0. 即
所以综上，得（2）
其中a=b，所以
【答案】（1）因为
所以是的单因式.
那么
故有
及
使
4． 证明：如果
【答案】因为
两式相乘，得
因此，根据定理3, 有
5． 求以下二次型的矩阵：
【答案】设
为
矩阵
的行向量组. 则n 阶方阵
但由于
且为n 阶对称方阵，故二次型f 的矩阵为 证明：
6． 在P[x]中
【答案】
故
7． 设成立.
【答案】
因
且
求的向量.
8． 设.
非平凡，
故有
考察
由
矛盾.
同样由
>
则
可得若有
否
则
故
则已完成证明.
若
则是所要
是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在使
同时
是线性变换
那么
证明：
（1）如果