2017年新疆大学数学与系统科学学院818高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
方法4令
所以f 为正定的.
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】
4． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 二次型
是（ ）二次型.
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
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由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 设
试就a , b 的各种取值情况，讨论非齐次方程组【答案】因为系数行列式（1）当
时，且
，所以
时，方程组有唯一解
（2）当a=0时，原方程组无解。
的解，如有解，并求出解。
（3）当时，原方程组有无穷解，其通解为其中k 为任意常数。
7． 已知二次型
（1）求的值； （2）求正交变換（3）求方程
把的解.
化成标准形；
的秩为2.
【答案】（1）由于二次型f 的秩为2，则对应的矩阵有
所以a=0.
（2）当a=0时，
的行列式为0，即
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