2018年延安大学数学与计算机科学学院814数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若致地成立, 即对任意
【答案】先证由于
.
又由于f （x , t ）对任何因此对从而
即再证
收敛.
考虑
由
一致收敛于F （x ）知, 任绐
存在N 1, 对一切A> N1和一切
由由从而有
综合上述, 对任给的
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在时一致收敛于F （x ）. 且
收敛.
对任何对一切
成立, 则有
一
存在M>0, 当x>M时,
在时一致收敛,
因此任给
一致收敛于
,
存在N ,
对一切
,
和一切,
都有
, 存在X , 对一切x>X和都有
有
收敛, 对上述
取
存在N 2, 对一切A> N2, 有
, 对
, 存在X , 对一切x>X和t , 有
存在x , 对一切x>X, 有
2． 设函数在区间上满足
其中为常数, 证明:在上恒为常数.
【答案】由条件可得
固定X , 令
由两边夹法则
此即有
因此
在
上恒为常数.
有
【答案】
,
由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知
有
,
故当
时有f （X ）=0
卿f （1）=0.从而
有f （x ）=0.
因为f （x ）在点x=l左连续, 所以
有
, 则
3． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对
二、解答题
4．
为R 中的开集
，（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
的x 存在关于
存在.
使得
根据条件（2）
令
当
时，有
取极限，根据条件（1）可得
）.
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2
为上的函数，且
中的y 一致连续.
①
（为开集），所以
；根据柯西准则，知存在. 即等
式①左端极限存在，记之为A.
其次，（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
将x 固定，由条件（1）
于是由②式知
5． 设
（1）求（2
）
,
在点（0, 0）是否连续?
使得
时证毕.
②
（3）f （x , y）在点（0, 0）是否可微. 【答案】（1）当 x=y=0 时,
同理（0, 0）=0. 当
时,
所以
（2）取而
即（3）因为
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, :, 则
与都不存在, 故, 在点（0, 0）不连续.