2018年西南石油大学理学院936高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
4． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
5． 设A 是
A. 如果
线性相关，所以线性相关，故选A. 矩阵，则.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
）交于一点的充要条件是（ ）
线性相关 线性无关
线性无关 则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
. ，可知
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
于是
B. 如果秩则有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
未知量个数
二、分析计算题
6． 设向量组证明
【答案】假设
线性无关，向量可由它线性表示，而向量不能由它线性表示，
线性无关.
线性相关，则存在一组不全为零的数
使
①
由若
则
线性无关知
而
不全为0从而
线性相关，
矛盾所以由①式知
又因为因此，
7． A 为正交阵
（1）（2）当
（2）由假设知
所以
即
由①, ③, 并注意到移项并注意到再由于
可得
所以
结合⑤式可得
可由
线性无关.
线性表出，所以也可由线性表出，与题没矛盾，
为A 的特征值, 为相应特征向量, 证明:
【答案】 （1）由于正交矩阵A 的特征值的模为1, 因此有