2018年西北大学数学学院821高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
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则A=（ ）.
则为（ ）.
若选, ，从而否定C ,
故选B.
4． 设
A. B. C. D.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
的基础解系. 又由的解都是线性方程组
5． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
与
的解, 则（ ）.
的解空间分别为则所以
二、分析计算题
6． 己知二次型
在正交变换（1）求矩阵A ; （2）证明征向量.
设
为A 属于特征值1的特征向量，
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下的标准形为，且Q 的第3列为
为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.
为A 属于特征值0的一个特
【答案】 （1）由题设，A 特征值为1, 1, 0, 且
因为A
的属于不同特征值的特征向量正交，所以取
为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量，并令
则有
故
（2）由（1）知A 的特征值为
1，1，0, 于是A+E的特征值为2, 2
, 1
，
又故
为正定矩阵.
矩阵成标准形:
为实对称矩阵，
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．
化下列
【答案】 （1）因为
所以标准形为:
.
（2）作初等变换
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