2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 、B 为数域P 上的n 阶方阵, 与
相似.
【答案】 （1）当
又A 与b 相似, 即因而
即（2）当令即
由式（1）可得时也成立. 即 2． 设
是线性空间V 上的双线性函数, 试将
表示成一个对称双线性函数与一个反
（1）
中元素为t 的多项式, 有无穷多个数t 使该式成立, 因而
因
当
时,
所以
使
所以
与
分别为A 与B 的伴随阵, 证明:如果A 与B 相似, 则
对称双线性函数之和, 并证明表示法唯一.
【答案】令
直接验证可知g 是对称双线性函数, h 是反对称双线性函数, 且
下证唯一性. 若
（1）
这里
为对称双线性函数,
为反对称双线性函数. 于是
（2）
（1）+（2）得
代入式（1）, 得
3． 已知
A , B, C是n 阶矩阵，A 可逆，并且
（1）
可逆，并求其逆。
证明
【答案】设A 的特征多项式为
由 Hamilton-Caylay 定理知
由A 可逆，则
于是
上式两边左乘C , 右乘B , 得
（2）
注意到A 可逆，由
故因为
所以
4． 设
可逆.
A ，B 均为n 阶方阵，证明：
【答案】
5． 设是欧氏空间V 的线性变换, 试证下面命题等价:
（1）为正交变换；
（2）保持向量长度不变, 即对（3）若【答案】
为标准正交基底, 则设
则
两边开方, 并注意向量长度非负, 可得设
为V 的一组标准正交基, 则
且有
所以
由此即有
从而
此即
. 故
即证
取
下证A 为正交阵, 令
也是一组标准正交基
. 为V 的一组标准正交基, 则
也是标准正交基, 且设
其中A 为A 的列向量, 由①知
为正交阵
.
交基, 有
因为
由②, ③有
是正交变换.
也是标准正交基底.
证其中则由是标准
也是标准正交基, 所以
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