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一、计算题

1． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

所以（2）因为

由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时, 原级数化为发散. 2． 计算

【答案】设

, 其中为曲线

, 因为

所以积分与路径无关.

取积分路径为从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的直线段, 则

3． 设

是n 个正实数, 求

.

从（1, 1, 0）到（1, 1, 1）的部分.

也

故由拉贝判别法可得原级数收敛.

【答案】对取对数得

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所以

4

．

边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成

角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面,

上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.

【答案】如图所示, 静压力的微元

, 则

图

5． 据理回

【答案】

（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？

（2）对于可积函数, 若“所有下和（或上和）都相等”,

是否仍有（2）的结论？

答:（1）常量函数是具有“任意下和等于任意上和”的惟一函数. 事实上, 常量函数显然具有此性质, 反之, 设f （x ）具有此性质. 考虑分割T :

, 有

又S （T ）=s（T ）, 所以M （b —a ）=m（b —a ）, 得M=m, 故f （x ）=常数. （2）不成立例如

在[0, 1]上,

都有s （T ）=0, 但, f （x ）不是常数.

二、证明题

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6． 证明:

【答案】

且当

有时有

:在内连续.

, 关于x 在

, 所以当

在

时在

内单调递减,

上一致收敛于0.

内闭

由狄利克雷判别法知, 上一致收敛, 即F （y ）在

一致收敛, 又被积函数连续, 于是F （y ）在内连续.

7． 证明在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是:对任意域

使得

在

上一致收敛于f.

总存在x

0的一个邻域而当

在[a, b]上一致收敛于f , 因此

由已知

时,

覆盖[a, b].

有

所以 8． 设在证明

在

【答案】因为和一切

, 都有

内成立不等式

上一致收敛且绝对收敛. 关于

为

一致收敛, 所以任给

,

所以

即

9． 证明:若

（1）（2）

关于, 则

, 其中

存在x 0

的一个邻

【答案】

必要性

所以充分性

从而

和I 的一个内闭区间[a, b]

, 使得在有

上一致收敛于f. 上一致收敛于f.

. 使得在

显然, 当x 0取遍[a, b]上所有点时,

由有限覆盖定理, 存在有限个区间覆盖[a, b].

不妨设

取

则当n>N时,

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性, 得

在I 上内闭一致收敛于f. . 若

在

上一致收敛,

, 存在, 对任何

一致收敛且绝对收敛.