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一、证明题

1． 证明:若致地成立, 即对任意

【答案】先证由于

.

又由于f （x , t ）对任何因此对从而

即再证

收敛.

考虑

由

一致收敛于F （x ）知, 任绐

存在N 1, 对一切A> N1和一切

由由从而有

综合上述, 对任给的

存在x , 对一切x>X, 有

收敛, 对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

有

一致收敛于

,

都有

, 存在X , 对一切x>X和在在

时一致收敛于F （x ）. 且

收敛.

时一致收敛,

因此任给

存在N ,

对一切

,

和一切

,

都有

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0, 当x>M时,

, 存在X , 对一切x>X和t , 有

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, f （0）=f（1）=0, 证明:

（1）存在c>0, 使

（2）c 的最小值为

.

【答案】（1）将f （x ）在[0, 1]上展开成正弦级数

则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见, 只要变成等式,

故c 的最小值为

.

，有

【答案】在

则

即

.

中，令

3． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某

, 上述不等式总成立.

时, 式（1）

（2）为求c 的最小值, 必须求f （x ）使式（1）中等号成立. 易见, 当

4． 证明:设f 为幂级数在（﹣R , R ）上的和函数, 若f 为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则仅出现偶次幂的项.

【答案】由

当f （x ）为奇函数时,

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又故此时有

当f （x ）为偶函数时

,

又

5． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

故此时有

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

6． 试用一致连续的定义证明:若f ,

g都在区间I 上一致连续

, 则f+g

也在I 上一致连续

.

【答案】因为f ,

g在区间

I 上一致连续, 所以对任给的使得当当有

故f+g在I 上一致连续.

时, 有时

,

有

. 取

；

, 则当

时,

, 存在

,

为曲面S 的外法线方向余弦.

二、解答题

7． 求

【答案】

而

.