2017年淮北师范大学数学基础之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 将A 化为若当标准形，其中
【答案】令
则
由若当标准形为
故
则A 1的特征值为-1 （2重），-1的几何重数为由
的若当标准形为
则
故
的
的特征值为1 （2重），1
的几何重数为
综上所述，A 的若当标准形是
注对于准对角矩阵
可以对每一主对角元A i 求出其若当标准形
则
是A 的若当标准形.
2． 求
（1）（2）（3）
【答案】（1）用辗转相除法进行计算.
使
以上计算表明
因此
所以
（2）（3）
3． 设.
是线性变换
那么那么得
4． 设K 上三维空间V 的线性变换T 在基
下矩阵为
①求每个特征子空间的一基；
②问T 可否对角化？若可以，求出相应的基和过渡矩阵C. 【答案】易知T 的特征多项式为故T 的特征根2, 2，-7全为特征值. ①解方程组
得一基础解系：
证明：
于是
（1）如果（2）如果【答案】（1）因题设又故（2）
因此，特征子空间V2的
维数是2且
再解方程组因此，特征子空间②由于
且由此知：由基
到
为其一基； 得一基础解系：的维数是1且
为其一基.
为V 的一基，故T 可对角化.
又因为
的过渡矩阵为
从而
5． 设
充分性设
证明令
的充要条件是k 是正整数.
【答案】必要性，显然.
则
这里
6． 设
是关于x 的
次多项式. 与已知矛盾.
是两个实二次型且B 正定. 证明：
由带余除法定理知
（1）存在满秩线性变换X=TY，使
（2）上述的
的实根.
且
是实对称阵，从而存在正交阵T2，使
其中
的全部特征值. 令
则T 为实可逆阵，且由①，②可得
这时，令X=TY，由③，④两式知
【答案】（1）B 正定.B 合同于E ，从而存在实可逆阵T1，使