2018年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
于区间
（其中
由于
）一致连续, 但是于在
内连续,
从而在
内不一致连续。 内一致连续, 则在区
【答案】（1
）由于间
内也一致连续。 （2）利用定义, 取
存在
取尽管有
但是
2． 证明:对黎曼函数
【答案】
有
, 从而函数在区间（当
内不一致连续。
或1时, 考虑单侧极限）
上的黎曼函数的定义为
对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得
（若
为既约真分数, 则
取
.
若
使得则当
因而p 也只有有限个. 于是在
时, 有
内不含这有限个既约真分数.
则当
则当
故 3． 己知
为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明
发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得
可以先取n=N+l, 注意到
递增，所以此时有
因为
递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得
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则
所以原命题成立.
二、解答题
4． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:
（1）
（2）（3）
【答案】（
1
）由
若其中其中
得
, ,
若
则
,
若
.
D 与如图1, 图2.
图1
h
图2
于是
（2）由
得
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, , 于是
（3
）由
于是
5． 设函数
【答案】
6． 设
, 且
, 考察级数可知
. 而
所以
即所考察的级数收敛. 但由
I
可知,
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得
求:
的绝对收敛性.
【答案】由
发散, 故原级数为条件收敛.