2018年西北民族大学数学与计算机科学学院726数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 应用詹森不等式证明:
（1）设
, 有
（2）设【答案】设由
可知
, 有则
为区间
,
上严格凸函数根据詹姆森不等式有
即
因而
, 把这个不等式中的n 个正数换成, 则得到
于是原不等式得证. （2）设a>0, b>0, p>1, g>1,
,
代入
得
于是
令
得
不等式两端同时乘以
, 再对k=l, 2, …, n 时的不等式两端分别相加, 得
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, 其中
, 由（1）知－lnx 为凸函数, 令
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2． 证明:若
在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列
使得
在, 上一致收敛.
使得
在I 上一致收敛.
【答案】因为
3． 设函数列
和【答案】使得
因当令不妨设
收敛, 存在正整数时有
,
, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,
, 于是
从而
4．
证明:
（
1
）
（2）
【答案】（
1）设收敛区间为
满足方程满足方程
, 故
且y 可在
内任意阶可导, 所以
（2）设
故
所以幂级数的收敛区间为
第
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在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i , 总存在自然数而级数
收敛, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数
在[a, b]上可导, 且存在M>0
, 使得对任意正整数n
有
成立. 证明:如果级数
, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:
在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.
.
在[a, b]上一致收敛.
从而幂级数
的
, 且和函
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数y
在具有任意阶导数, 由可得
所以又由
得
5． 证明:若
【答案】因为时,
故定的
因此是因为
6． 证明反常积分
【答案】因为
存在
设
则
当且仅当A 为何值时反之也成立
?
所以对任给的
存在时,
也有
则对任意给
但
不存在, 这
使得当
于是, 对于
得到的这个当
当且仅当使得当
对于函数
.
时, 逆命题成立. 证明如下:如果
时, 有
有.
即
是收敛的.
所以只需证明记
收敛即可.
则对任意
在
上单调递减, 并且
收敛, 故
收敛.
由狄利克雷判别法可知
二、解答题
7． 求极限
【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得
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